图8-1-3单维模型
2。多维模型
（1）项目间多维。
项目间（Between-Item）多维是指在一份测试内，包含多个维度，维度之间存在相关，不同题目所属的维度可能是不一样的，但每个题目只属于一个维度。如图8-1-4所示的情况就是属于项目间多维的情况。
图8-1-4项目间多维示意图
如图所示，上述6个题目所组成的问卷包含两个因素，并且两个因素之间存在相关，6个题目分别属于两个因素，但是每个因素下所属的题目并没有重叠，这样的测验结构就是一种项目间多维的情况。
（2）项目内多维。
项目内（Within-Item）多维是指在一份测试内，包含多个维度，每个题目所属的维度为两个或两个以上。如图8-1-5所示的情况就是属于典型的项目内多维的情况。
图8-1-5项目内多维示意图
根据图示，我们可以看到，由6个题目组成的问卷包括两个维度，这6个题目都同时属于两个维度，即每一个题目都测量了两个维度的内容，我们说这种一个题目测量两个（以上）维度的情况就是项目内多维（关于测验多维的情况可以参考Wang，g（2004）的研究）。
那么双因子IRT模型属于哪种情况呢？根据双因子的因子结构示意图，结合题目间多维和题目内多维的描述，我们认为双因子模型是一种既包含项目间多维，也包括项目内多维的模型（如图8-1-6）。
图8-1-6双因子结构示意图
上图所示的双因子结构中，每个题目均测量了一个一般因子、一个特殊因子，所以每个题目都存在项目内多维的情况，同时因为双因子模型下存在的一般因子和特殊因子是正交的关系，因此，也可以看作是多个维度的模型。
在双因子模型下，我们允许一份问卷中测量了多个维度，这些维度之间没有相关，每个题目都只在两个维度上存在载荷。所以每个题目只需要计算两个维度，即公共因素（一般因素）和一个特殊因素的信息。
以二值计分的题目为例，被试j在第i题上正确作答的概率如下：
其中
公式中的变量解释与前文中关于FIIFA的变量解释相似。
λi1：表示第i题在一般因子上的载荷；
λik：表示第i题在特殊因子上的载荷；
τi：表示第i题的阈限；
当λi1θj1+λikθjk≥τi时，被试j对第i题反应正确，记为uij=1；当λi1θj1+λikθjk＜τi时，反应错误，记为uij=0。
因为在LogisticMIRM中指数部分乘D=1。702后与正态肩形MIRM所得正确作答概率之间的差小于0。01，所以在实践中，正态肩形模型和Logistic模型之间常常可以替换使用（毛秀珍，辛涛，2015）。双因子模型也是MIRT模型的一个特例，所以双因子模型除了可以用正态肩形模型之外，也可以用LogisticMIRT模型替换。
由于心理学的量表、问卷大多是多等级计分的题目，在这种情况下，采用二级计分的模型进行分析就具有一定的局限性。在这种情况下，Gibbons，Bock和Hedeker在二级计分的FIIBFA基础上开发出了针对等级数据使用的FIIBFA模型。
假设题目等级数为T=1，2，…，n；令被试得0分及0分以下的概率为0，即P*i0=0；被试得n分及n分以下的概率为1，即P*in=1；则被试作答恰为等级T的概率为
在Gibbons等人的模型中，将Samejima的等级反应模型（GradedResponseModel，GRM）与双因子模型相结合，从而拓广了双因子IRT的应用范围，使双因子模型不只局限在0，1计分的数据中。
基于双因子的IRT模型在心理学的很多研究中都具有一定的适用性，总结起来体现在以下几个方面。
第一，是一种基于验证性的多维IRT模型，在这个模型当中，我们能够按照理论依据指定题目和因素之间的关系。
第二，作为多维IRT模型的一个特例，极大地简化了参数估计计算，因为相对于前面的全息项目因素分析而言，在双因子模型下无论因子的个数有多少，模型的使用者也只需要计算两重积分。
第三，基于IRT模型，能够与计算机自适应测验相结合，提高施测的效率。