第二节MCAT中常用IRT模型
一、二级评分的多维项目反应模型
Reckase和Mley（1982）在回顾以往大量MIRT模型的基础上，提出了当前最实用的三参数Logistic多维项目反应模型。该模型的项目反应函数为
其中
θi=（θi1，θi2，…，θip）：被试i的p维能力向量；
aj=（aj1，aj2，…，ajp）T：项目j的p维区分度向量；
cj：项目猜测度参数；
dj：与MIRT难度相关的参数，它不同于单维IRT的难度参数bj，但两者间存在某种函数转换式。
因此对于测验为p维的MIRT模型而言，每个被试有p维能力，每个项目有p维区分度，但每个项目只有一个猜测度参数cj和一个与项目难度相关的参数dj。
为了与单维Logistic模型相对应，学者们（Reckase，2009；Zhang＆Stone，2008）提出了多维区分度指标MDISC（MultidimensionalDisIRT的项目整体区分度，并根据MDISC指标将MIRT中的dj参数转换为单维IRT的难度参数bj，具体计算公式如下：
MDISCj和bj分别代表基于Logistic多维模型的项目整体区分度参数和难度参数，它们与Logistic单维模型的区分度和难度参数意义一致。MDISCj越大，说明项目j对多个维度的整体区分度越高，反之越低；bj越大，代表项目越难，反之越容易。
公式（5。2。1）中，若令cj=0，则三参数Logistic多维模型简化为二参数Logistic多维模型，参见公式（5。2。4）；若令cj=0和aj=（1，1，…，1），则公式（5。2。1）简化为单参数Logistic多维模型或多维Rasch模型，参见公式（5。2。5）。
二、多级评分的多维项目反应模型
（一）多维等级反应模型
多维等级反应模型是在单维等级反应模型（GRM）的基础上拓展而来的。与单维一样，多维等级反应模型假设被试成功完成测验任务需要多个步骤（Steps），且被试正确完成第k步则需以正确完成前K-1步为基础。若记P*jt为被试得T分及T分以上的概率即累积类别反应函数（CumulativeCategoryRespoions），且记Pjt为被试恰得T分的概率即类别反应函数（CategoryRespoions），则
其中
并令P*j0=1和P*j，mfj+1=0（其中mfj指项目j的满分值），即被试得0分及0分以上的概率为1，被试得mfj+1分的概率为0，则满足∑mfjt=0P（Uij=t|θi）=1。
（二）多维拓展分部评分模型
多维拓展分部评分模型（MultidimensionalGeial）是由单维拓展分部评分模型演化而来，MGPCM的数学表达式为
其中βju表示得u分的阈值参数（ThresholdParameter），并且限定βj0=0，其他符号与前面相同。
Yao和Schwarz（2006）以公式（5。2。8）为基础，进一步拓展出了MGPCM的区分度与难度参数：