第三节MCAT能力估计方法
MCAT能力参数估计方法与传统CAT估计方法基本相同，只是MCAT中涉及的被试能力维度更多。MCAT能力条件估计方法主要有极大似然估计、贝叶斯极大后验估计、贝叶斯期望后验估计等。
一、极大似然估计
（一）牛顿-拉夫逊迭代
极大似然估计首先需界定模型的似然函数，若令L（Ui|θi）为能力θi的被试在测验作答矩阵为Ui的似然函数，在假设项目局部独立（Lodependence，LD）条件下，有
其中Qij（θi）=1-Pij（θi）。
对上式取对数似然，则有
也即通过解如下方程式获取：
其中
由于上式为非线性方程，因此可通过牛顿-拉夫逊（on-Raphson）迭代方法求其近似解，即
其中
H（θi）为对数似然函数在θi处的二阶导矩阵，即
其中H（θ（v）i）的第k行第k列元素（对角元素）为
H（θ（v）t）的第k行第L列元素为
（二）Fisher-score迭代
如果初始值与参数真值相差较远，则上公式中的参数可能无法收敛。这时可以采用Fisher-scall，1996）来保证收敛，即采用二阶导的期望矩阵（信息矩阵）来代替二阶导矩阵，即
二、贝叶斯极大后验估计
（一）牛顿-拉夫逊迭代
若记g（θi|Ui）为被试i能力为θi的后验分布，并记g（θi）服从均值为μ，协方差矩阵为Φ的多变量正态分布（θi先验的分布），记g（Ui）为Ui的边际概率，根据贝叶斯定理，有
也即通过解如下方程式获取：
其中
同样，上述方程为非线性方程，可通过牛顿-拉夫逊（on-Raphson）迭代方法求其近似解，即
其中
J（θ（v）i）为f（θl|Ui）在θi处的二阶导矩阵，它是p×p的对称矩阵，即
其中J（θ（v）i）的对角元素为
φkk为Φ-1矩阵的第k行第k列元素。
J（θ（v）i）的非对角元素为
φkl为Φ-1矩阵的第k行第L列元素。
（二）Fisher-score迭代
与MLE同理，如果初始值与参数真值相差较远，则上公式中的参数可能无法收敛。这时可以采用Fisher-scall，1996）来保证收敛，即采用二阶导的期望矩阵（信息矩阵）来代替二阶导矩阵，即
其中
W矩阵同样为对称矩阵，其第k行第k列元素为
第k行第L列元素为
三、贝叶斯期望后验估计
贝叶斯期望后验估计算法可以通过高斯-埃尔米特求积或MonteCarlo积分求能力维度的后验边际期望估计值，即
θp指第p维能力，qp指第p维能力的结点数，A（θp）指能力θp在对应标准正态分布上的权。